Questão de Matemática - ITA 1996 - As dimensões x, y, z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética.

ITA 1996 - As dimensões x, y, z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 694 cm², então o volume deste paralelepípedo, em cm³, é igual:

a) 1.200

b) 936

c) 1.155

d) 728

e) 834

RESPOSTA:

Letra C.

Se x, y e z estão em progressão aritmética, x = y – r e z = y + r. Sabemos que x + y + z = 33 ⇒ x + z = 33 – y, então, y – r + y + y + r = 33 ⇒ 3y = 33 ⇒ y = 11 e x + z = 33 – 11 = 22. Se elevarmos a soma ao quadrado, teremos: (x + y + z)² = x² + y² +z² +2.(xy + xz + zy) ⇒ 33² = x² + y² + z² + 2.(xy + xz + zy). Mas x² + y² + z² é  o quadrado da diagonal do prisma e 2.(xy + xz + zy) é a área total do prisma, logo, 1089 = d² + At ⇒ 1089 = d² + 694 ⇒ 1089 – 694 = d² ⇒ d² = 395. Portanto, x² + y² + z² = 395 ⇒ x² + 11² + z² = 395 ⇒ x² + z² = 395 – 121 ⇒ x² + z² = 274. Mas x + z = 22 ⇒ x = 22 – z. Assim, (22 – z)² + z² = 274 ⇒ 484 – 44z + z² +z² = 274 ⇒ 2z² – 44z + 484 – 274 = 0 ⇒ 2z² – 44z + 210 = 0 ⇒ z² – 22z + 105 = 0, por produto de Steve, precisamos de dois números cujo o produto seja 105 e cuja a soma -22, eles são -7 e -15, desta forma, (z – 7).(z – 15) = 0 ⇒ ou z -7 = 0, z = 7 e x = 22 – 7 = 15, o que não é viável pois x < z; ou z – 15 = 0 ⇒ z = 15 e x = 22 – 15 =7. Sabemos agora que x = 7, y = 11 e z = 15, por conseguinte, o volume desse prisma é V = x.y.z ⇒ V = 7.11.15 ⇒ V = 1155.