OBMEP 2021 - Algumas joaninhas grandes e pequenas estão fazendo uma festa. Joaninhas pequenas têm 5 pintas e joaninhas grandes têm 6 pintas.
Se o total de pintas na festa é 43, podemos dizer que nessa festa há exatamente:
A) 6 joaninhas.
B) 7 joaninhas.
C) 8 joaninhas.
D) 9 joaninhas.
E) 10 joaninhas.
RESPOSTA:
Letra C.
Vamos supor que nenhuma joaninha grande esteja na festa; como 43 não é múltiplo de 5, isso é impossível.
Vamos supor então que somente uma joaninha grande esteja na festa; como 43 – 6 = 37 não é múltiplo de 5, isso também é impossível.
Analogamente, se duas joaninhas grandes estivessem presentes, como 43 – 12 = 31 não é múltiplo de 5, novamente teríamos uma situação impossível.
Agora, se na festa há 3 joaninhas grandes, como 43 – 18 = 25, teremos uma situação possível. De fato, na festa estão presentes 3 joaninhas grandes e 5 joaninhas pequenas, e o número total de pintas é 3 x 6 + 5 x 5 = 18 + 25 = 43. Como veremos ao final, essa é a única possibilidade e, portanto, na festa estão presentes 3 + 5 = 8 joaninhas.
É impossível que na festa estejam 4 joaninhas grandes, pois 43 – 24 = 19 não é múltiplo de 5. É impossível que estejam na festa 5 joaninhas grandes, porque 43 – 30 = 13 não é múltiplo de 5. De modo análogo, podemos concluir que na festa não pode haver 6 ou 7 joaninhas grandes. Finalmente, se 8 ou mais joaninhas grandes estivessem presentes, o número de pintas ultrapassaria 43.
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