Questão de Matemática - OBMEP 2019 - Janaína quer escrever os números 1, 2 ou 3 em cada uma das casas do quadriculado ao lado,

OBMEP 2019 - Janaína quer escrever os números 1, 2 ou 3 em cada uma das casas do quadriculado ao lado, de modo que cada coluna e cada linha tenham os três números diferentes. Ela já começou a preencher o quadriculado, escrevendo 1 na casa indicada na figura. De quantas maneiras diferentes ela pode terminar de preencher o quadriculado? 

A) 2 

B) 3 

C) 4 

D) 5 

E) 8

RESPOSTA:

Letra C.

A primeira linha da tabela pode ser preenchida de duas maneiras diferentes:

Por sua vez, em cada uma dessas possiblidades, há duas maneiras de se preencher a segunda linha:

Há, agora, uma única maneira de completar a terceira linha; portanto, há apenas 4 possibilidades de preenchimento. São elas:

Observe que o preenchimento das duas casas marcadas em cinza na figura ao lado determina completamente o preenchimento completo do quadriculado. Como em cada casa marcada podemos escrever o número 2 ou o número 3, pelo Princípio Multiplicativo da Contagem, existem 2 x 2 = 4 possibilidades de se completar o preenchimento.